【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
. 点
为圆
上任意一点,
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)记线段与椭圆
交点为
,求
的取值范围;
(Ⅲ)设直线经过点
且与椭圆
相切,
与圆
相交于另一点
,点
关于原点
的对称点为
,试判断直线
与椭圆
的位置关系,并证明你的结论.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
(Ⅲ)见解析
【解析】试题分析:(Ⅰ)由焦点及离心率求解方程组即可;
(Ⅱ)由,设
,利用
进行求解即可;
(Ⅲ)先讨论PA直线斜率不存在和为0时的特殊情况,得相切的结论,再计算一般情况,设点,直线
的斜率为
,则
,直线
:
,进而得直线
与椭圆联立,通过计算判别式即可证得.
试题解析:
(Ⅰ)由题意,知,
,
所以,
,
所以椭圆的标准方程为
.
(Ⅱ)由题意,得.
设,则
.
所以,
因为,
所以当时,
;当
时,
.
所以.
(Ⅲ)结论:直线与椭圆
相切.
证明:由题意,点在圆
上,且线段
为圆
的直径,
所以.
当直线轴时,易得直线
的方程为
,
由题意,得直线的方程为
,
显然直线与椭圆
相切.
同理当直线轴时,直线
也与椭圆
相切.
当直线与
轴既不平行也不垂直时,
设点,直线
的斜率为
,则
,直线
的斜率
,
所以直线:
,直线
:
,
由 消去
,
得.
因为直线与椭圆
相切,
所以,
整理,得. (1)
同理,由直线与椭圆
的方程联立,
得. (2)
因为点为圆
上任意一点,
所以,即
.
代入(1)式,得,
代入(2)式,得
.
所以此时直线与椭圆
相切.
综上,直线与椭圆
相切.
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【题目】已知过抛物线的焦点
,斜率为
的直线交抛物线于
两点,且
.
(1)求该抛物线的方程;
(2)过点任意作互相垂直的两条直线
,分别交曲线
于点
和
.设线段
的中点分别为
,求证:直线
恒过一个定点.
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【题目】已知等比数列{an}中,a2=2,a5=128.
(Ⅰ) 求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)若bn=,且数列{bn}的前
项和为Sn=360,求
的值.
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【题目】如图所示,将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛
,要求
点在
上,
点在
上,且对角线
过
点,已知
米,
米.
(1)要使矩形的面积大于
平方米,则
的长应在什么范围内?
(2)当的长度是多少时,矩形花坛
的面积最小?并求出最小值.
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【题目】设数列{an}满足a1=,
.(1)证明:数列
为等比数列,并求数列{an}的通项公式;(2)设cn=(3n+1)an,证明:数列{cn}中任意三项不可能构成等差数列.
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【题目】假设小明订了一份报纸,送报人可能在早上6:30﹣7:30之间把报纸送到,小明离家的时间在早上7:00﹣8:00之间,则他在离开家之前能拿到报纸的概率( )
A.
B.
C.
D.
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【题目】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为 (α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ﹣
)=
m
(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程;
(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.
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【题目】已知斜三棱柱的底面是直角三角形,
,侧棱与底面成锐角
,点
在底面上的射影
落在
边上.
(Ⅰ) 求证:平面
;
(Ⅱ) 当为何值时,
,且
为
的中点?
(Ⅲ) 当,且
为
的中点时,若
,四棱锥
的体积为
,求二面角
的大小.
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