【题目】已知斜三棱柱的底面是直角三角形,
,侧棱与底面成锐角
,点
在底面上的射影
落在
边上.
(Ⅰ) 求证:平面
;
(Ⅱ) 当为何值时,
,且
为
的中点?
(Ⅲ) 当,且
为
的中点时,若
,四棱锥
的体积为
,求二面角
的大小.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ);(Ⅲ)
.
【解析】
(1)根据射影得线面垂直,即得线线垂直,再通过线面垂直判定定理得结论,(2)由 结合
,得
, 即得
是菱形,再根据直角三角形解得
,(3)先根据条件确定
是二面角
的平面角,再根据体积得
,最后根据解三角形得二面角大小.
(Ⅰ)因为点在底面上的射影
落在
边上,所以
,
所以,所以
(Ⅱ)因为,要使
,只要
,又
是平行四边形,所以只要
是菱形;
因为,当
是等边三角形时
为
的中点,因为
,所以侧棱与底面成锐角
为
,从而当
为
时,
,且
为
的中点.
(Ⅲ)如图,取中点
,连接
,
是等边三角形,所以
,由
得
,
,所以
是二面角
的平面角。 四棱锥
的体积
=
,所以
,在直角三角形
中易得
,即二面角
的大小为
.
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【题目】已知椭圆的一个焦点为
,离心率为
. 点
为圆
上任意一点,
为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程;
(Ⅱ)记线段与椭圆
交点为
,求
的取值范围;
(Ⅲ)设直线经过点
且与椭圆
相切,
与圆
相交于另一点
,点
关于原点
的对称点为
,试判断直线
与椭圆
的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】已知关于x的方程|2x3﹣8x|+mx=4有且仅有2个实数根,则实数m的取值范围为( )
A.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)
B.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
C.(﹣2,2)
D.(﹣1,1)
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【题目】在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
为曲线
上的动点,点
在线段
上,且满足
.
(1)求点的轨迹
的直角坐标方程;
(2)直线的参数方程是
(
为参数),其中
.
与
交于点
,求直线
的斜率.
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【题目】已知向量a=(cos ωx,1),b=
,函数f(x)=a·b,且f(x)图象的一条对称轴为x=
.
(1)求f的值;
(2)若f,f
,且α,β∈
,求cos(α-β)的值.
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【题目】设关于的一元二次方程
.
(1)若是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,
是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率;
(2)若时从区间
上任取的一个数,
是从区间
上任取的一个数,求上述方程有实根的概率.
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