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    【题目】已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于 两点，且.

    （1）求该抛物线的方程；

    （2）过点任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点和.设线段的中点分别为，求证：直线恒过一个定点.

    【答案】（1）（2见解析

    【解析】试题分析： 联立直线方程和抛物线方程，利用弦长公式列方程解出，即可得到抛物线的方程；

    设直线的方程，联立抛物线方程得两根之和，计算点的坐标，同理可得点的坐标，运用直线点斜式给出直线方程，讨论斜率问题即可得出定点

    解析：（1）抛物线的焦点，∴直线的方程为：

    联立方程组，消元得： ，

    ∴

    ∴，解得.

    ∵，∴抛物线的方程为： .

    （2）设两点坐标分别为，则点的坐标为..

    由题意可设直线的方程为.

    由，得.

    因为直线与曲线于两点，所以.

    所以点的坐标为.

    由题知，直线的斜率为，同理可得点的坐标为.

    当时，有，此时直线的斜率.

    所以，直线的方程为，整理得.

    于是，直线恒过定点；

    当时，直线的方程为，也过点.

    综上所述，直线恒过定点.

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    （图1） （图2）

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