Question

【题目】已知抛物线C：y2=2px过点P（1，1）.过点（0， ）作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点.

（Ⅰ）求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；

（Ⅱ）求证：A为线段BM的中点.

Answer 1

【答案】（1）方程为.焦点坐标为（，0），准线方程为.（2）见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）代入点求得抛物线的方程，根据方程表示焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）设直线l的方程为（），与抛物线方程联立，再由根与系数的关系，及直线ON的方程为，联立求得点的坐标为，再证明.

试题解析：（Ⅰ）由抛物线C： 过点P（1，1），得.

所以抛物线C的方程为.

抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.

（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为， .

由，得.

则， .

因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.

直线ON的方程为，点B的坐标为.

因为

，

所以.

故A为线段BM的中点.