Question

函数f（x）=sin（

π

2

x+θ）cos（

π

2

x+θ）（0＜θ＜π）在x=2时有最大值，则θ=

 

；将函数f（x）的图象向右平移

1

6

个单位得到函数g（x）的图象，则g（

2

3

）=

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：①利用三角恒等变换化简f（x），利用正弦函数的取得最大值求出θ的值；
②把f（x）的图象平移得出g（x）的解析式，从而求出g（

2

3

）．

解答： 解：①∵f（x）=sin（

π

2

x+θ）cos（

π

2

x+θ）
=

1

2

sin（πx+2θ），
∴f（2）=

1

2

sin（2π+2θ）
=

1

2

sin2θ=

1

2

；
又∵0＜θ＜π，
∴2θ=

π

2

，
解得θ=

π

4

；
②由①得，f（x）=

1

2

sin（πx+

π

2

）=

1

2

cosπx，
∴g（x）=

1

2

cos（π（x-

1

6

））=

1

2

cos（πx-

π

6

）；
∴g（

2

3

）=

1

2

cos（

2

3

π-

π

6

）=

1

2

cos

π

2

=0．
故答案为：

π

4

，0．

点评：本题考查了三角函数的恒等变换以及三角函数求值问题，也考查了一定的计算能力，是基础题．