Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为、．经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，把平面沿轴折起来，使轴正半轴和轴确定的半平面，与负半轴和轴所确定的半平面互相垂直．

①若，求异面直线和所成角的大小；

②若折叠后的周长为，求的大小．

Answer 1

【答案】（1） （2）① ②或

【解析】

（1）椭圆的标准方程为：，，的周长是，从而得，于是可得，从而得椭圆标准方程；

（2）①求出直线方程，与椭圆方程联立求出两点坐标，折叠后建立如图的空间直角坐标系，写出此时各点坐标，求出的坐标，用向量数量积计算向量夹角可得异面直线所成的角．

②设直线方程为，代入椭圆方程，设设折叠前，，则折叠后，，由韦达定理得，折叠前后两个三角形周长之差为，在空间直角坐标系中，由两点间距离公式得一等式，结合韦达定理所得可求得，从而得，得到倾斜角．

（1）设椭圆的标准方程为：，，

由椭圆的性质可知：，，

则的周长，即，，

∴椭圆的标准方程：；

（2）①设直线：，

代入椭圆方程，解得：，，

则，，

折叠后主要是四点位置．擦去椭圆如下图，建立空间直角坐标系，

在空间直角坐标系中，，，

，，，，

异面直线和所成角为，则，

∴异面直线和所成角的大小；

②折叠后对应点记为，如图

设折叠前，，则，，

由，，则，

设折叠前直线方程为，

则，整理得：，

则，，

则，，

∴，（1）

∴，

∴，（2）

∴由（1），（2）可知：，

∴，

∴，

即，

，则，

解得：，

故或．