Question

数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（Ⅰ）设b_n=a_n+1-a_n，证明{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式,等差数列的通项公式,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）将a_n+2=2a_n+1-a_n+2变形为：a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，再由条件得b_n+1=b_n+2，根据条件求出b₁，由等差数列的定义证明{b_n}是等差数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）和等差数列的通项公式求出b_n，代入b_n=a_n+1-a_n并令n从1开始取值，依次得（n-1）个式子，然后相加，利用等差数列的前n项和公式求出{a_n}的通项公式a_n．

解答： 解：（Ⅰ）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2得，
a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n+2，
由b_n=a_n+1-a_n得，b_n+1=b_n+2，
即b_n+1-b_n=2，
又b₁=a₂-a₁=1，
所以{b_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=1+2（n-1）=2n-1，
由b_n=a_n+1-a_n得，a_n+1-a_n=2n-1，
则a₂-a₁=1，a₃-a₂=3，a₄-a₃=5，…，a_n-a_n-1=2（n-1）-1，
所以，a_n-a₁=1+3+5+…+2（n-1）-1
=

(n-1)(1+2n-3)

2

=（n-1）²，
又a₁=1，
所以{a_n}的通项公式a_n=（n-1）²+1=n²-2n+2．

点评：本题考查了等差数列的定义、通项公式、前n项和公式，及累加法求数列的通项公式和转化思想，属于中档题．