Question

如图，设椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
（Ⅰ）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（Ⅱ）若过原点O的直线l₁与l垂直，证明：点P到直线l₁的距离的最大值为a-b．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，利用△=0，可求得在第一象限中点P的坐标；
（Ⅱ）由于直线l₁过原点O且与直线l垂直，设直线l₁的方程为x+ky=0，利用点到直线间的距离公式，可求得点P到直线l₁的距离d=

| -a2k b2+a2k2 + b2k b2+a2k2 |

1+k2

，整理即可证得点P到直线l₁的距离的最大值为a-b．．

解答： 解：（Ⅰ）设直线l的方程为y=kx+m（k＜0），由

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y得
（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即b²-m²+a²k²=0，解得点P的坐标为
（-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

），
又点P在第一象限，故点P的坐标为P（

-a2k

b2+a2k2

，

b2

b2+a2k2

）．
（Ⅱ）由于直线l₁过原点O且与直线l垂直，故直线l₁的方程为x+ky=0，所以点P到直线l₁的距离
d=

| -a2k b2+a2k2 + b2k b2+a2k2 |

1+k2

，
整理得：d=

a2-b2

b2+a2+a2k2+ b2 k2

，
因为a²k²+

b2

k2

≥2ab，所以

a2-b2

b2+a2+a2k2+ b2 k2

≤

a2-b2

b2+a2+2ab

=a-b，当且仅当k²=

b

a

时等号成立．
所以，点P到直线l₁的距离的最大值为a-b．

点评：本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力．