Question

设函数f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x²-8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．
（Ⅰ）求M；
（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x²f（x）+x[f（x）]²≤

1

4

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法,交集及其运算

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由所给的不等式可得

x≥1 3x-3≤1

①，或

x＜1 1-x≤1

②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，

3

4

]．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左边化为

1

4

-(x-

1

2

)2，显然它小于或等于

1

4

，要证的不等式得证．

解答： 解：（Ⅰ）由f（x）=2|x-1|+x-1≤1 可得

x≥1 3x-3≤1

 ①，或

x＜1 1-x≤1

 ②．
解①求得1≤x≤

4

3

，解②求得 0≤x＜1．
综上，原不等式的解集为[0，

4

3

]．

（Ⅱ）证明：
由g（x）=16x²-8x+1≤4，求得-

1

4

≤x≤

3

4

，
∴N=[-

1

4

，

3

4

]，
∴M∩N=[0，

3

4

]．
∵当x∈M∩N时，f（x）=1-x，
∴x²f（x）+x[f（x）]² =xf（x）[x+f（x）]=

1

4

-(x-

1

2

)2≤

1

4

，
故要证的不等式成立．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．