Question

底面边长为2的正三棱锥P-ABC，其表面展开图是三角形P₁P₂P₃，如图，求△P₁P₂P₃的各边长及此三棱锥的体积V．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：利用侧面展开图三点共线，判断△P₁P₂P₃是等边三角形，然后求出边长，利用正四面体的体积求出几何体的体积．

解答： 解：根据题意可得：P₁，B，P₂共线，∵∠ABP₁=∠BAP₁=∠CBP₂，∠ABC=60°，
∴∠ABP₁=∠BAP₁=∠CBP₂=60°，
∴∠P₁=60°，同理∠P₂=∠P₃=60°，
∴△P₁P₂P₃是等边三角形，P-ABC是正四面体，
∴△P₁P₂P₃的边长为4，
V_P-ABC=

2

12

×AB3=

2 2

3

点评：本题考查空间想象能力以及逻辑推理能力，几何体的侧面展开图和体积的求法．