Question

19．已知函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为π．
（1）求ω的值；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象．①求函数y=g（x）的单凋区间；②求函数y=g（x）在区间[0，$\frac{π}{16}$]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）由题意和周期公式可得ω=1，可得f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$；
（2）由函数图象变换可得g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，①解2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得单凋递增区间，同理可得单凋递间区间；②由x∈[0，$\frac{π}{16}$]可得4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，可得最小值．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2ωx+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$（ω＞0）的最小正周期为π，
∴由周期公式可得$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1，故f（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$；
（2）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的$\frac{1}{2}$，纵坐标不变，
得到函数y=g（x）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$的图象，
①由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可得$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{3π}{8}$≤x≤$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，
∴函数y=g（x）的单凋递增区间为[$\frac{1}{2}$kπ-$\frac{3π}{8}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$]（k∈Z），
同理可得函数y=g（x）的单凋递间区间为[$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{π}{8}$，$\frac{1}{2}$kπ+$\frac{5π}{8}$]（k∈Z），
②∵x∈[0，$\frac{π}{16}$]，∴4x∈[0，$\frac{π}{4}$]，∴4x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，
∴当4x+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{4}$，即x=0时，函数取最小值1

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及正弦函数的图象变换以及函数的单调性和最值，属中档题．