Question

14．关于x的方程cos³3x+cos³5x=8cos³4xcos³x在100°＜x＜200°范围内，所有根在角度制下度数数值之和为906．

Answer 1

分析 利用“立方和公式”、倍角公式、和差化积即可得出．

解答 解：cos³3x+cos³5x=（cos3x+cos5x）[cos²3x+cos²5x-cos3xcos5x]=2cosxcos4x[cos²3x+cos²5x-cos3xcos5x]，
∵100°＜x＜200°，∴cosx≠0，400°＜4x＜800°，由于4x=450°或630°时，cos4x=0，
由cos³3x+cos³5x=8cos³4xcos³x，
可知：x=$\frac{45{0}^{°}}{4}$，$\frac{63{0}^{°}}{4}$是此方程的两个根．
化为：cos²3x+cos²5x-cos3xcos5x=4cos²4xcos²x，
∴$\frac{1+cos6x}{2}$+$\frac{1+cos10x}{2}$-cos3xcos5x=4×$\frac{1+cos8x}{2}$×$\frac{1+cos2x}{2}$，
化为：1+cos8xcos2x-cos3xcos5x=1+cos8xcos2x+cos5xcos3x，
可得cos5xcos3x=0，
∵100°＜x＜200°，∴300°＜3x＜600°，500°＜5x＜1000°，
由于3x=450°，5x=630°，810°，990°．
∴x=150°，或x=$\frac{63{0}^{°}}{5}$，$\frac{81{0}^{°}}{5}$，$\frac{99{0}^{°}}{5}$．
综上可得：所有根在角度制下度数数值之和=$\frac{450+630}{4}$+150+$\frac{630+810+990}{5}$=906．
故答案为：906．

点评 本题考查了“立方和公式”、倍角公式、和差化积，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．