Question

3．从极点作圆ρ=4sinθ的弦，则各条弦中点的轨迹方程为ρ=2sinθ．

Answer 1

分析 设某一条弦中点坐标为（ρ，θ），弦的一端点为极点（0，0），另一端点为（ρ₀，θ₀），由中点坐标公式，得ρ₀=2ρ，θ₀=θ，由此能求出各条弦中点的轨迹方程．

解答 解：设某一条弦中点坐标为（ρ，θ），弦的一端点为极点（0，0），另一端点为（ρ₀，θ₀），
由中点坐标公式，得：
$\frac{0+{ρ}_{0}}{2}$=ρ，θ₀=θ，
即ρ₀=2ρ，θ₀=θ，
而点（ρ₀，θ₀）在圆ρ=4sinθ上，
代入得：2ρ=4sinθ，
化简得各条弦中点的轨迹方程为ρ=2sinθ．
故答案为：ρ=2sinθ．

点评 本题考查弦中点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极坐标方程性质的合理运用．