Question

15．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）根据函数的最大值和最小值，算出A=1且k=$\frac{1}{2}$，再由函数的周期算出ω=$\frac{2π}{T}$=2，最后根据函数的最大值对应的x值，得到φ=$\frac{π}{3}$，可得f（x）的表达式．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵函数f（x）的最大值为$\frac{3}{2}$，最小值为-$\frac{1}{2}$，
∴2A=$\frac{3}{2}$-（-$\frac{1}{2}$）=2，得A=1，k=$\frac{1}{2}$[$\frac{3}{2}$+（-$\frac{1}{2}$）]=$\frac{1}{2}$，
∵函数的周期T=2（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{12}$）=π，
∴ω=$\frac{2π}{π}$=2．
而f（$\frac{π}{12}$）=$\frac{3}{2}$为函数的最大值，得2×$\frac{π}{12}$+φ=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴φ=$\frac{π}{3}$+2kπ，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$，得φ=$\frac{π}{3}$，
综上所述，得f（x）的表达式是f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+$\frac{1}{2}$．
（2）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，即可解得f（x）的单调递增区间为：[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．

点评 本题给出三角函数图象满足的条件，求它的表达式，着重考查了三角函数的图象与性质和由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式等知识，属于基础题．