Question

6．已知函数$f（x）=1-\frac{4}{{2{a^x}+a}}（a＞0，a≠1）$是定义在实数集R上的奇函数．
（1）判断函数在R上的单调性并用定义证明你的结论；
（2）若方程f（x）-2m=0在R上有解，求实数m的范围；
（3）当x∈（0，1）时，mf（x）＞2^x-2恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由奇函数的性质f（0）=0，代入求出a，利用定义法判定即可；
（2）若方程f（x）-2m=0在R上有解，2m应在函数值域内，求出函数的值域即可；
（3）不等式可整理为（2^x）²-（m+1）2^x+m-2＜0对x∈（0，1）恒成立，利用换元法令t=2^x，
得t²-（m+1）t+m-2＜0对于t∈（1，2）恒成立，利用二次不等式的性质可求出m的范围．

解答 解：（1）函数$f（x）=1-\frac{4}{{2{a^x}+a}}（a＞0，a≠1）$是定义在实数集R上的奇函数，
∴f（0）=0，
∴a=2，
∴$f（x）=1-\frac{4}{{2{a^x}+a}}（a＞0，a≠1）$
=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
设x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$
=$\frac{2（{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{2}}+1）（{2}^{{x}_{1}}+1）}$
∵x₁＜x₂，
∴2x1＜2x2，即2x2-2x1＞0，（2x1+1）（2x2+1）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）=＞0，
即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）是R上的递增函数．
（2）若方程f（x）-2m=0在R上有解，
∴1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$=2m有解，
∴2m应在函数值域内，
（Ⅱ）∵y=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$
又∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1
∴0＜$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜2，-1＜1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$＜1
∴函数f（x）的值域（-1，1），
∴m∈（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）；
（3）由题意，当x∈（0，1）时，mf（x）＞2^x-2恒成立，
即（2^x）²-（m+1）2^x+m-2＜0对x∈（0，1）恒成立，
令t=2^x，
∵x∈（0，1），
∴t∈（1，2），
∴t²-（m+1）t+m-2＜0对于t∈（1，2）恒成立，
令g（t）=t²-（m+1）t+m-2，
∴g（1）＜0，g（2）＜0，
∴m＞0．

点评 考查了奇函数的性质和单调性的证明，方程有解的问题和恒成立问题的转换．注意换元法的应用．