Question

18．已知函数f（x）=2+log₂$\frac{1-x}{1+x}$
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）若关于x的方程f（x）=log₂k在区间（-1，-$\frac{1}{2}$）上有实根，求实数k的取值范围；
（3）问：函数g（x）=f（x）-（x+1）是否有零点？如果有，设为x₀．请用二分法求出一个长度为$\frac{1}{4}$的区间（a，b）．使x₀∈（a，b）．要求写出推理过程．如果没有，请说明理由．（注：区间[a，b）的长度为b-a）

Answer 1

分析 （1）直接根据$\frac{1-x}{1+x}$＞0求得函数的定义域；
（2）先确定函数的单调性，再根据单调性得出k的取值范围；
（3）运用二分法确定函数零点的区间；

解答 解：（1）∵f（x）=2+log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
∴$\frac{1-x}{1+x}$＞0，解得x∈（-1，1），
所以，f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）根据方程f（x）=2+log₂$\frac{1-x}{1+x}$=log₂k，
所以，$\frac{k}{4}$=$\frac{1-x}{1+x}$，x∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
记g（x）=$\frac{1-x}{1+x}$=-1+$\frac{2}{x+1}$，在x∈（-1，-$\frac{1}{2}$）上单调递减，
因此，g（x）的值域为（3，+∞），
所以，$\frac{k}{4}$∈（3，+∞），解得k∈（12，+∞），
即实数k的取值范围为：（12，+∞）；
（3）g（x）=f（x）-（x+1）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$-x+1，
由（2）可知f（x）单调递减，所以g（x）也单调递减，
且g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{2}$）=log₂$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$[1-log₂9]＜0，
所以，x₀∈（0，$\frac{1}{2}$），再将区间二等分，中点为$\frac{1}{4}$，
则g（$\frac{1}{4}$）=log₂$\frac{3}{5}$+$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$[3-log₂$（\frac{5}{3}）^4$]=$\frac{1}{4}$[log₂8-log₂$\frac{625}{81}$]＞0，
因此，g（$\frac{1}{4}$）•g（$\frac{1}{2}$）＜0，
所以，存在x₀∈（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$）使得g（x₀）=0，此时区间长度恰好为$\frac{1}{4}$．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断，二分法，以及对数的运算性质，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于中档题．