Question

10．已知：函数f（x）=ax²-bx+c，若f（x）的顶点坐标为（1，2），且f（0）=3，
（1）求a，b，c的值 
（2）若x∈[-1，2]，求函数f（x）值域．

Answer 1

分析 （1）由已知可得$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}-\frac{b}{2a}=1\\ f（1）=2\\ f（0）=3\end{array}\right.\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ a-b+c=2\\ c=3\end{array}\right.$，解得a，b，c的值 
（2）分析x∈[-1，2]时函数的图象和性质，求出最值，进而可得函数的值域．

解答 解：（1）∵f（x）的顶点坐标为（1，2），且f（0）=3，
∴$\left\{\begin{array}{l}\begin{array}{c}-\frac{b}{2a}=1\\ f（1）=2\\ f（0）=3\end{array}\right.\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}b=-2a\\ a-b+c=2\\ c=3\end{array}\right.$…（3分）
解得 a=1，b=2，c=3 …（6分）
（2）函数f（x）=x²-2x+3的对称轴为x=1…（8分），
x∈[-1，2]时，f_min（x）=f（1）=2…（10分）
f_max（x）=f（-1）=6…（12分）
∴x∈[-1，2]时，值域为[2，6]…（14分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．