Question

1．已知：函数$f（x）={log_2}\frac{1+x}{1-x}$的定义域为（-1，1）；
（1）判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）根据函数奇偶性的定义即可判断f（x）的奇偶性并予以证明；
（2）根据对数的运算法则结合对数函数的单调性即可证明f（x）在（-1，1）上是增函数．

解答 （1）解：f（-x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$=log₂（$\frac{1+x}{1-x}$）^-1=-log₂（$\frac{1+x}{1-x}$）=-f（x），
则f（x）是奇函数．
（2）证明：f（x）=log₂（$\frac{1+x}{1-x}$）=log₂（1+x）-log₂（1-x），
∵y=log₂（1+x）为增函数，y=log₂（1-x），为减函数，
∴y=og₂（1+x）-log₂（1-x）是增函数．

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，利用函数奇偶性的定义以及函数单调性的性质是解决本题的关键．