Question

13．已知函数f（x）=lg（x+1）
（1）当x∈[1，9]时，求函数f（x）的反函数；
（2）若0＜f（1-2x）-f（x）＜1，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先确定函数的值域，就是其反函数的定义域，再对函数求反函数；
（2）将该不等式等价为：1＜$\frac{2-2x}{x+1}$＜10且x+1＞0，再直接解不等式即可．

解答 解：（1）∵y=f（x）=lg（x+1），
∴当x∈[1，9]时，y∈[lg2，1]，
且x+1=10^y，即x=10^y-1，
互换x，y得，y=10^x-1，
所以，f^-1（x）=10^x-1，x∈[lg2，1]；
（2）不等式0＜f（1-2x）-f（x）＜1可化为：
0＜lg$\frac{2-2x}{x+1}$＜1，等价为：
1＜$\frac{2-2x}{x+1}$＜10且x+1＞0，
解得x∈（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$），
所以，原不等式中x的取值范围为：（-$\frac{2}{3}$，$\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查了反函数的解法及其定义域的确定，以及对数不等式与分式不等式的解法，属于中档题．