Question

2．某跨国饮料公司对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在0.5-8千美元的地区销售，该公司在对M饮料的销售情况的调查中发现：人均GDP处在中等的地区对该饮料的销售量最多，然后向两边递减．
（1）下列几个模拟函数中（x表示人均GDP，单位：千美元；y表示年人均M饮料的销量，单位：升），用哪个来描述人均饮料销量与地区的人均GDP的关系更合适？说明理由；
（A）f（x）=ax²+bx
（B）f（x）=log_ax+b
（C）f（x）=a^x+b
（2）若人均GDP为2千美元时，年人均M饮料的销量为6升；人均GDP为4千美元时，年人均M饮料的销量为8升；把你所选的模拟函数求出来；
（3）因为M饮料在N国被检测出杀虫剂的含量超标，受此事件影响，M饮料在人均GDP不高于3千美元的地区销量下降5%，不低于5千美元的地区销量下降5%，其他地区的销量下降10%，根据（2）所求出的模拟函数，求在0.5-8千美元的地区中，年人均M饮料的销量最多为多少？

Answer 1

分析 （1）考虑到A，B，C，D四个函数中只有A符合题意，因为B，C，D三个函数是单调函数．
（2）用待定系数法求出A的解析式可得．
（3）根据题中人均GDP的要求范围把x的取值分成三段，分别求出每一段的最大值，并比较去最大即可．

解答 解：（1）由于（B）、（C）、（D）三个函数，在[0.5，8]上均为单调函数，…（2分）
而（A）为二次函数，不单调，故（A）更适合…（4分）
（2）由题意$\left\{\begin{array}{l}f（2）=6\\ f（4）=8\end{array}\right.⇒$a=-$\frac{1}{2}$，b=4…（6分）
则$f（x）=-\frac{1}{2}{x^2}+4x$，x∈[0.5，8]…（8分）
（3）设受事件影响后，各地区M饮料销售量为g（x），则$g（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{19}{20}（-\frac{1}{2}{x^2}+4x），\;\;0.5≤x≤3\\ \frac{9}{10}（-\frac{1}{2}{x^2}+4x），\;\;3＜x＜5\\ \frac{19}{20}（-\frac{1}{2}{x^2}+4x），\;\;5≤x≤8\end{array}\right.$
当x∈[0.5，3]时，y=$\frac{19}{20}$[-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8]，在x∈[0.5，3]上递增，所以y_max=$\frac{57}{8}$
当x∈[5，8]时，y=$\frac{19}{20}$[-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8]，在x∈[5，8]上递减，所以y_max=$\frac{57}{8}$
当x∈（3，5）时，y=$\frac{9}{10}$[-$\frac{1}{2}$（x-4）²+8]，4∈（3，5），所以y_max=$\frac{36}{5}$
比较大小得：当x=4时，y_max=$\frac{36}{5}$
答：当人均GDP在4千美元的地区，人均A饮料的销量最多为$\frac{36}{5}$．

点评 考查学生会根据实际问题选择函数类型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值及比较出最值．