Question

15．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{{{2^x}+1}}$．
（1）若f（x）为奇函数，求a的值；
（2）证明：不论a为何值f（x）在R上都单调递增；
（3）在（1）的条件下，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）根据f（x）为奇函数，则f（0）=0，建立方程关系即可求a的值；
（2）根据函数单调性的定义即可证明：不论a为何值f（x）在R上都单调递增；
（3）在（1）的条件下，结合指数函数的单调性即可求f（x）的值域．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为R，且f（x）是奇函数，…（1分）
则f（0）=0，f（0）=$a-\frac{1}{{{2^0}+1}}=a-\frac{1}{2}$=0（2分）
∴$a=\frac{1}{2}$…（3分）  经检验$a=\frac{1}{2}$满足题意．…（4分）．（利用定义也可）
（2）设x₁＜x₂，（…5分）
则f（x₁）-f（x₂）=$（a-\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}）-$$（a-\frac{1}{{{2^{x_2}}+1}}）$=-$（\frac{1}{{{2^{x_1}}+1}}-$$\frac{1}{{2}^{{x}_{2}}+1}）$
=-$\frac{{2}^{{x}_{2}}-{2}^{{x}_{1}}}{（{2}^{{x}_{1}}+1）（{2}^{{x}_{2}}+1）}$，
∵x₁＜x₂
∴∴${2}^{{x}_{2}}$-${2}^{{x}_{1}}$＞0，
则f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
即不论a为何值f（x）在R上都单调递增．
（3）由（1）知$f（x）=\frac{1}{2}-\frac{1}{{{2^x}+1}}$，
∵2^x+1＞1，0＜$\frac{1}{{2}^{x}+1}$＜1，…（9分），
∴$-1＜-\frac{1}{{{2^x}+1}}＜0$，∴$-\frac{1}{2}＜f（x）＜\frac{1}{2}$…（11分）
则f（x）的值域为$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．…（12分）

点评 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用定义法是解决本题的关键．