Question

20．已知函数f（x）=log₂（x+1）的定义域为集合A，集合B={x|ax-1＜0，a∈N^*}，集合C={y|y=$（\frac{1}{2}）^{x+2}}$，x∈A}．
（1）求集合C；
（2）若C?（A∩B），求a的值．

Answer 1

分析 （1）由f（x）=log₂（x+1）的定义域为集合A，求出A的集合，由集合B={x|ax-1＜0，a∈N^*}，求出B的集合，然后再由指数函数的性质求出集合C．
（2）由集合A，集合B求出A∩B，再由C?（A∩B），即可得到a的值．

解答 解：由函数f（x）=log₂（x+1）的定义域为集合A，得A=（-1，+∞），集合B={x|ax-1＜0，a∈N^*}={x|$x＜\frac{1}{a}$}，
（1）集合C={y|y=$（\frac{1}{2}）^{x+2}}$，x∈A}，$y={（{\frac{1}{2}}）^{x+2}}$在（-1，+∞）上单调递减，则$y∈（{0，\frac{1}{2}}）$，则 C=$（{0，\frac{1}{2}}）$；
（2）由于a∈N^*，B=$（{-∞，\frac{1}{a}}）$，
则$A∩B=（{-1，\frac{1}{a}}）$，由C?（A∩B），得$\frac{1}{a}≥\frac{1}{2}$⇒a≤2．
即a=1或2．

点评 本题考查了交、并、补集的混合运算，考查了集合的包含关系判断及应用，是基础题．