Question

11．已知等比数列{a_n}的公比q＞1，且2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*．
（Ⅰ）求q的值；
（Ⅱ）若a₅²=a₁₀，求数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）利用等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵2（a_n+a_n+2）=5a_n+1，n∈N^*，∴$2{a}_{n}（1+{q}^{2}）$=5a_nq，
化为2（1+q²）=5q，又q＞1，
解得q=2．
（II）a₅²=a₁₀，$（{a}_{1}×{2}^{4}）^{2}$=a₁×2⁹，解得a₁=2．
∴a_n=2ⁿ．
∴$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$=$（\frac{2}{3}）^{n}$．
∴数列{$\frac{{a}_{n}}{{3}^{n}}$}的前n项和S_n=$\frac{\frac{2}{3}[1-（\frac{2}{3}）^{n}]}{1-\frac{2}{3}}$=$2[1-（\frac{2}{3}）^{n}]$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．