Question

10．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=DC=2，点E为PC的中点，EF⊥PB，垂足为F点．
（Ⅰ）求证：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）求证：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求异面直线BE与PA所成角的大小．

Answer 1

分析 （I）以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AC，AC交BD于点G，连接EG．分别求出PA，EG的方向向量，易判断PA与EG平行，进而由线面平行的判定定理得到答案．
（II）分别求出DE与PB的方向向量，由它们的数量积为0，易得DE⊥PB，再由EF⊥PB结合线面垂直的判定定理即可得到答案．
（III）求出$\overrightarrow{BE}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），即可求异面直线BE与PA所成角的大小．

解答 （I）证明：如图，以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，得以下各点坐标：D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），
C（0，2，0），P（0，0，2）…（1分）
连接AC，AC交BD于点G，连接EG．∵底面ABCD是正方形，∴G为AC的中点．G点坐标为（1，1，0）．
又E为PC的中点，E点坐标为（0，1，1），
∴$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），$\overrightarrow{EG}$=（1，0，-1）
∴$\overrightarrow{PA}$=2$\overrightarrow{EG}$
∴PA∥EG
∵EG?平面EDB，PA?平面EDB，
∴PA∥平面EDB   
（II）证明：∵$\overrightarrow{PB}$=（2，2，-2），$\overrightarrow{DE}$=（0，1，1）
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{DE}$=0
∴PB⊥DE
又∵DE⊥PB，EF⊥PB，DE∩EF=E，
∴PB⊥平面EFD．
（III）解：∵$\overrightarrow{BE}$=（-2，-1，1），$\overrightarrow{PA}$=（2，0，-2），
∴|cos＜$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{PA}$＞|=|$\frac{-6}{\sqrt{6}×2\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴异面直线BE与PA所成角的大小为30°．

点评 本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，其中几何法的关键是熟练掌握空间直线与平面位置关系的定义、判定、性质及几何特征，建立良好的空间想像能力，几何法的关键是建立适当的空间坐标系，将空间线面关系及线面夹角问题转化为向量夹角问题．