Question

20．△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a²+c²-ac=b²．
（1）求角B；
（2）当b=6，sinC=2sinA时，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理变形已知式子可得cosB，结合三角形内角的范围可得；
（2）由题意正弦定理可得c=2a，代入a²+c²-ac=b²可解得$a=2\sqrt{3}$，$c=4\sqrt{3}$，可得△ABC为直角三角形，由三角形的面积公式可得．

解答 解：（1）∵△ABC中a²+c²-ac=b²，∴ac=a²+c²-b²，
∴由余弦定理可得$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，
∵B为三角形的内角，∴$B=\frac{π}{3}$；
（2）∵sinC=2sinA，∴由正弦定理可得c=2a，
代入a²+c²-ac=b²得36=a²+4a²-2a²，
解得$a=2\sqrt{3}$，$c=4\sqrt{3}$，
满足a²+b²=c²，∴△ABC为直角三角形，
∴${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}•2\sqrt{3}•6=6\sqrt{3}$

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属中档题．