Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=$\sqrt{3}$，△ABC是正三角形，P是棱A₁C₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面B₁PC；
（Ⅱ）若C₁到平面B₁CP的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连结B₁C，BC₁相交于O，由三角形中位线定理可得OP∥A₁B，然后利用线面平行的判定定理得答案；
（Ⅱ）设出△ABC的边长为a，由已知结合等积法求得a，再由棱柱的体积公式得答案．

解答 （Ⅰ）证明：连结B₁C，BC₁相交于O，
则O为BC₁的中点，又P是棱A₁C₁的中点，
∴OP∥A₁B，
OP?面B₁PC，A₁B?B₁PC，
∴A₁B∥平面B₁PC；
（Ⅱ）解：设△ABC的边长为a，
则${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}•a•\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，
${S}_{△{B}_{1}P{C}_{1}}=\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}$．
${B}_{1}P=\frac{\sqrt{3}}{2}a$，${B}_{1}C=\sqrt{{a}^{2}+3}$，$PC=\sqrt{3+\frac{{a}^{2}}{4}}$，
∴${B}_{1}{P}^{2}+P{C}^{2}={B}_{1}{C}^{2}$，
则△B₁PC为直角三角形，
∴${S}_{△{B}_{1}PC}=\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{3}}{2}a•\frac{\sqrt{12+{a}^{2}}}{2}=\frac{\sqrt{3{a}^{2}+36}}{8}$．
∴$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3{a}^{2}+36}}{8}•\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{8}{a}^{2}•\sqrt{3}$，解得：a=2．
∴棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×4×\sqrt{3}=3$．

点评 本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．