Question

13．数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+2{b}_{n}}$
（1）求b₂、b₃、b₄并猜想数列{b_n}的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想；
（3）设c_n=b_nb_n+1，求数列{c_n} 的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由b₁=1，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{1+2{b}_{n}}$，分别令n=1，2，3，即可得出，猜想b_n=$\frac{1}{2n-1}$，
（2）利用数学归纳法证明即可，
（3）先求出c_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），裂项求和即可．

解答 解：（1）b₂=$\frac{{b}_{1}}{1+2{b}_{1}}$=$\frac{1}{1+2}$=$\frac{1}{3}$，b₃=$\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{3}}$=$\frac{1}{5}$，b₄=$\frac{\frac{1}{5}}{1+\frac{2}{5}}$=$\frac{1}{7}$，可以猜想b_n=$\frac{1}{2n-1}$
（2）证明：①当n=1时，猜想显然成立；
②假设当n=k（k∈N⁺）时猜想成立，
即b_k=$\frac{1}{2k-1}$，则b_k+1=$\frac{\frac{1}{2k-1}}{1+\frac{2}{2k-1}}$=$\frac{1}{2k+1}$=$\frac{1}{2（k+1）-1}$，
故当然n=k+1时猜想成立，
由①②可知，猜想成立；
（3）c_n=b_nb_n+1=$\frac{1}{2n-1}$•$\frac{1}{2n+1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
故T_n=$\frac{1}{2}$$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{2i-1}$-$\frac{1}{2i+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了数学归纳法、递推公式、数列的通项公式，考查了猜想归纳能力与计算能力，属于中档题．