Question

8．若函数f（x）=2e^xln（x+m）+e^x-2存在正的零点，则实数m的取值范围（　　）

• A． （-∞，$\sqrt{e}$）
• B． （$\sqrt{e}$，+∞）
• C． （-∞，e）
• D． （e，+∞）

Answer 1

分析 令g（x）=ln（x+m），h（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{2}$，利用函数f（x）=2e^xln（x+m）+e^x-2存在正的零点，可得g（0）＜h（0），结合m≤0时，显然成立，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：由f（x）=2e^xln（x+m）+e^x-2=0，可得ln（x+m）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{2}$，
令g（x）=ln（x+m），h（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$-$\frac{1}{2}$，则
∵函数f（x）=2e^xln（x+m）+e^x-2存在正的零点，
∴g（0）＜h（0），
∴lnm＜$\frac{1}{2}$，
∴0＜m＜$\sqrt{e}$，
m≤0时，显然成立，
∴m＜$\sqrt{e}$，
故选：A．

点评 本题考查函数的零点，考查学生的计算能力，属于中档题．