Question

20．已知a₁，a₂，b₁，b₂∈R₊，求证：$\sqrt{（{a}_{1}+{b}_{1}）（{a}_{2}+{b}_{2}）}$≥$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\sqrt{{b}_{1}{b}_{2}}$．

Answer 1

分析 运用分析法证明，化简整理，再由基本不等式即可得证．

解答 证明：要证$\sqrt{（{a}_{1}+{b}_{1}）（{a}_{2}+{b}_{2}）}$≥$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\sqrt{{b}_{1}{b}_{2}}$，
即证（a₁+b₁）（a₂+b₂）≥a₁a₂+b₁b₂+2$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}{b}_{1}{b}_{2}}$，
即证a₁b₂+b₁a₂≥2$\sqrt{{a}_{1}{a}_{2}{b}_{1}{b}_{2}}$，
由a₁，a₂，b₁，b₂∈R₊，运用基本不等式上式显然成立．
故原不等式成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用分析法，考查运算化简能力，属于基础题．