Question

15．在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=2，S_△ABC=2．
（1）求tanA的值；
（2）若sinB=2cosAsinC，求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积公式和三角形的面积公式，以及同角三角函数的关系即可求出tanA，
（2）先根据两角和差的正弦公式求出A=C，再分别由余弦定理即可求出BC的长．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|cosA=2，S_△ABC=2=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|•|$\overrightarrow{AC}$|sinA，
∴2=$\frac{1}{2}$•$\frac{2}{cosA}$•sinA=tanA，
∴tanA=2，
（2）∵B=180-（A+C），sinB=2cosAsinC，
∴sin（A+C）=2cosAsinC，
∴sinAcosC+cosAsinA=2cosAsinC，
∴sinAcosC-cosAsinC=0，
∴sin（A-C）=0，
∴A=C，
设三角形的三条边为a，b，c，
∴a=c，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-4，
∴b=2，
∵tanA=2，
∴cos2A=$\frac{1-ta{n}^{2}A}{1+ta{n}^{2}A}$=-$\frac{3}{5}$
由余弦定理得b²=a²+c²-2accosB=2a²-2a²cos[π-（A+C）]=2a²+2a²cos2A=$\frac{4}{5}$a²=4，
∴a=$\sqrt{5}$

点评 本题考查了同角函数三角函数的关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式，诱导公式，余弦定理，属于中档题．