Question

4．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x）不为常值函数，有以下命题：
①函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则f（x）是以2为周期的周期函数；
③若f（x）是奇函数，且对于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，则f（x）的图象的对称轴方程为x=2n+1（n∈Z）；
④对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，则f（x）为R上的增函数，
其中所有正确命题的序号是①③④．

Answer 1

分析 根据函数奇偶性的定义，可判断①；根据已知分析函数的对称性，可判断②；根据已知分析出函数的周期性和对称性，可判断③；根据已知分析出函数的单调性，可判断④

解答 解：∵g（-x）=f（-x）+f（x）=g（x），故函数g（x）=f（x）+f（-x）一定是偶函数，故①正确；
②若对任意x∈R都有f（x）+f（2-x）=0，则f（x）的图象关于点（1，0）对称，但不一定是周期函数，故错误；
③若f（x）是奇函数，且对于任意x∈R，都有f（x）+f（2+x）=0，则函数的周期为4，则f（x）的图象的对称轴方程为x=2n+1（n∈Z），故正确；
④对于任意的x₁，x₂∈R，且x₁≠x₂，若$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0恒成立，则f（x）为R上的增函数，故正确，
故答案为：①③④

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的奇偶性，函数的对称性，函数的周期性和函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．