Question

16．已知函数f（x）=sin（$\frac{5π}{2}$-ωx）（ω＞0），且其图象上相邻最高点、最低点的距离为$\sqrt{4+{π}^{2}}$．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若已知sinα+f（α）=$\frac{2}{3}$，求$\frac{2sinαcosα-2si{n}^{2}α}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设最高点为（x₁，1），最低点为（x₂，-1），结合图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为$\sqrt{4+{π}^{2}}$列式，求出周期，代入周期公式求得ω，则函数解析式可求；
（Ⅱ）有题意可得sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，两边平方可解得：2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$，cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{14}}{3}$，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．

解答 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=sin（$\frac{5π}{2}$-ωx）=cosωx，故其周期为$\frac{2π}{ω}$，最大值为1．
设图象上最高点为（x₁，1），与之相邻的最低点为（x₂，-1），则|x₂-x₁|=$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$．
∵其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为$\sqrt{4+{π}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{π}{ω}）^{2}+{2}^{2}}$，解得ω=1，
∴函数f（x）=cosx．
（Ⅱ）∵sinα+f（α）=$\frac{2}{3}$，
∴sinα+cosα=$\frac{2}{3}$，两边平方可得：1+2sinαcosα=$\frac{4}{9}$，解得：2sinαcosα=-$\frac{5}{9}$，cosα-sinα=±$\frac{\sqrt{14}}{3}$，
∴$\frac{2sinαcosα-2si{n}^{2}α}{1+tanα}$=$\frac{2sinαcosα-2si{n}^{2}α}{1+\frac{sinα}{cosα}}$=$\frac{2sinαcosα（cosα-sinα）}{sinα+cosα}$=±$\frac{5\sqrt{14}}{18}$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，函数y=Asin（ωx+φ）的周期性、最大值，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．