Question

14．某地兴修水利开建一条水渠，其断面为等腰梯形，腰与水平线的夹角为60°，要求湿透周长（即断面与水接触的边界长度）为定值l．问渠深h为多少时，可使水流量最大？最大水流量是多少？

Answer 1

分析 根据题意，先求腰长与上下底边之和，进而可得面积，要使流量最大，只要求横截面积最大即可．利用配方法可解．

解答 解：设横截面面积为S，有条件知要使流量最大，只要求横截面积最大即可．（1分）
∵腰长为$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$h，上下底边之和为l-2×$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$h=l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$h．（3分）
∴S=$\frac{1}{2}$h（l-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$h），（0＜h＜$\frac{\sqrt{3}}{4}$l）
∴S=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$h²+$\frac{1}{2}$lh，（0＜h＜$\frac{\sqrt{3}}{4}$l）．（6分）
∴当h=$\frac{\sqrt{3}}{8}$l时，S取最大值即流量最大．（8分）

点评 本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查函数最值的求解，关键是构建函数模型．