Question

4．已知函数f（x）=log_a$\frac{2+x}{2-x}$（0＜a＜1）
（1）试判断函数f（x）的奇偶性
（2）解不等式f（x）≥log_a3x．

Answer 1

分析 （1）首先求出函数的定义域，然后利用奇偶函数的定义判断；
（2）因为底数为0＜a＜1，利用对数函数的单调性得到真数之间的关系，然后解分式不等式即可．

解答 解：（1）由已知函数的定义域为{x|-2＜x＜2}，
并且f（-x）=$lo{g}_{a}\frac{2-x}{2+x}=-lo{g}_{a}\frac{2+x}{2-x}$=-f（x），所以函数为奇函数；
（2）f（x）≥log_a3x．即$lo{g}_{a}\frac{2+x}{2-x}≥lo{g}_{a}3x$，
因为0＜a＜1时，所以原不等式等价于$\frac{2+x}{2-x}≤3x$，又-2＜x＜2，
所以不等式等价于3x²-5x+2≤0，解得$\frac{2}{3}≤$x≤1；
所以不等式的解集为{x|$\frac{2}{3}≤$x≤1}．

点评 本题考查了函数奇偶性的判定以及对数不等式的解法；注意利用对数函数的单调性将不等式转化为分式不等式．