Question

17．已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}是等比数列，且a₁=b₁=2，a₄+b₄=27，S₄-b₄=10．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）记T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n，n∈N^*，是否存在实数p，q，r，对于任意n∈N^*，都有T_n=pa_n+qb_n+r，若存在求出p，q，r的值，若不存在说明理由．

Answer 1

分析 （1）设出首项和公差，根据等差、等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式，列出方程组求出首项和公差，即可求出a_n、b_n；
（2）假设存在实数p、q、r满足条件，由（1）表示出T_n，利用错位相减法求出T_n的表达式化简后即可求出实数p、q、r的值．

解答 解：（1）设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，
由a₁=b₁=2，得a₄=2+3d，b₄=2q³，s₄=8+6d，
由a₄+b₄=27，S₄-b₄=10得，$\left\{\begin{array}{l}{2+3d+2{q}^{3}=27}\\{8+6d-2{q}^{3}=10}\end{array}\right.$，
解得d=3，q=2，
所以a_n=3n-1，b_n=2ⁿ； （6分）
（2）假设存在实数p，q，r，对于任意n∈N^*，都有T_n=pa_n+qb_n+r，
由（1）得，T_n=a_nb₁+a_n-1b₂+…+a₁b_n
=$2{a}_{n}+{2}^{2}{a}_{n-1}+{2}^{3}{a}_{n-2}+…+{2}^{n}{a}_{1}$     ①
∴2T_n=${{2}^{2}a}_{n}+{2}^{3}{a}_{n-1}+{2}^{4}{a}_{n-2}+…+{2}^{n+1}{a}_{1}$    ②
由②-①得，
T_n=-2（3n-1）+3×（2²+2³+…+2ⁿ）+2ⁿ⁺²
=3×$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$+2ⁿ⁺²-6n+2
=10•2ⁿ-6n-10                   （12分）
∴T_n=-2（3n-1）+10×2ⁿ-12=pa_n+qb_n+r，
可得p=-2；q=10；r=-12，
即存在p=-2；q=10；r=-12满足条件． （14分）

点评 本题考查等差、等比数列的通项公式和等差数列的前n项和公式，错位相减法求出数列的和，考查方程思想，化简、计算能力．