Question

已知函数.
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最大值为28，求的取值范围.

Answer 1

（Ⅰ）当时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减；（Ⅱ）即的取值范围是．

解析试题分析：（Ⅰ）讨论函数的单调区间，它的解题方法有两种：一是利用定义，二是导数法，本题由于是三次函数，可用导数法求单调区间，只需求出的导函数，判断的导函数的符号，从而求出的单调区间；但本题求导后令，得，由于不知的大小，因此需要对进行分类讨论，从而确定在各种情况下的单调区间；（Ⅱ）当时，若函数在区间上的最大值为28，求的取值范围，这是函数在闭区间上的最值问题，像这一类问题的处理方法为，先求出的极值点，然后分别求出极值点与区间端点处的函数值，比较谁大谁为最大值，比较谁小谁为最小值，但本题是给出最大值，确定区间端点的取值范围，只需找出包含最大值28的的取值范围，，故故区间内必须含有，即的取值范围是．
试题解析：（Ⅰ），令得，
（ⅰ）当，即时，，在单调递增，
（ⅱ）当，即时，当，或时，，在、内单调递增，当时，在内单调递减，
（ⅲ）当，即时，当时，在内单调递增
当时，在内单调递减   ，
综上，当时，在内单调递增，在内单调递减；当时，在单调递增；当时，在内单调递增，在内单调递减；
（Ⅱ）当时，，，令得，将，，变化情况列表如下：