Question

已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是.
（1）求双曲线的方程；（2）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围.

Answer 1

（1）；（2）.

解析试题分析：（1）先设出双曲线方程，再将焦点是，一条渐近线的方程是代入解出相关参数，即得双曲线的方程为；（2）先将直线方程设出，再与双曲线方程联立，得到的方程根的判别式.再由根与系数的关系得出中点坐标的表达式，从而得到线段的垂直平分线的方程.将其与与两坐标轴的交点找出，由与两坐标轴围成的三角形的面积为得到，代入根的判别式中可得到关于的不等式.,解得或，从而得到的取值范围.
试题解析：（1）设双曲线的方程为，
由题设得解得，   所以双曲线的方程为；
（2）解：设直线的方程为，点，的坐标满足方程组，将①式代入②式，得，
整理得，
此方程有两个不等实根，于是，且，
整理得......③
由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足
，，
从而线段的垂直平分线的方程为，
此直线与轴，轴的交点坐标分别为，，
由题设可得，整理得，，
将上式代入③式得，
整理得，，解得或，
所以的取值范围是.
考点：1.双曲线的几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3.解不等式.