Question

在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中,AB₁⊥BC₁,AB=CC₁=a,BC=b.

(1)设E、F分别为AB₁、BC₁的中点,求证:EF∥平面ABC;

(2)求证:A₁C₁⊥AB;

(3)求点B₁到平面ABC₁的距离.

Answer 1

(1)证明:∵E、F分别为AB₁、BC₁的中点,

    ∴EF∥A₁C₁.

    ∵A₁C₁∥AC,

    ∴EF∥AC.

    ∴EF∥平面ABC.

(2)证明:∵AB=CC₁,

    ∴AB=BB₁.

    又三棱柱为直三棱柱,

    ∴四边形ABB₁A₁为正方形.

    连结A₁B,则A₁B⊥AB₁.

    又∵AB₁⊥BC₁,

    ∴AB₁⊥平面A₁BC₁.

    ∴AB₁⊥A₁C₁.

    又A₁C₁⊥AA₁,

    ∴A₁C₁⊥平面A₁ABB₁.

    ∴A₁C₁⊥AB.

(3)解:∵A₁B₁∥AB,

    ∴A₁B₁∥平面ABC₁.

    ∴A₁到平面ABC₁的距离等于B₁到平面ABC₁的距离.

    过A₁作A₁G⊥AC₁于点G,

    ∵AB⊥平面ACC₁A₁,

    ∴AB⊥A₁G.

    从而A₁G⊥平面ABC₁,故A₁G即为所求的距离,即A₁G=.

讲评:本题(3)也可用等体积变换法求解.