Question

自单位圆外任意一点P引圆的两条切线，切点分别为点A、B，那么

AP

•

BP

的最小值是

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：三角函数的求值,平面向量及应用

分析：求解本题，首先要知道从圆外一点所引两条切线的特点是什么，特点就是，圆心和切点连线垂直于切线，并且这两条切线长度相等．把数量积表示出来，你会发现有3个未知量，分别是PA的长度，PB得长度及角APB，含三个变量求最小值应该有难度，所以看能不能把它变成一个变量，这是可以的，三角形PAO中AO长度已知，所以PA的长度用∠APO表示即可，同样的PA也可用这个角表示，这样就完成了将三个变量变成一个变量，下面就看整理成什么式子，求函数的最值即可．

解答： 解：如下图，设∠APO=θ，则PA=PB=

1

tanθ

，

AP

•

BP

=|

AP

|•|

BP

|cos2θ=

1

tanθ

•

1

tanθ

•cos2θ=

cos2θ

sin2θ

•cos2θ=

1+cos2θ

1-cos2θ

•cos2θ，所以令：x=1-cos2θ，x∈[0，2]
则，

PA

•

PB

=

(2-x)(1-x)

x

=x+

2

x

-3≥2

2

-3，并且x=

2

时等式成立．所以

AP

•

BP

的最小值是2

2

-3，故答案为2

2

-3．
[

点评：本题需要知道的知识点就是圆外一点引圆的两条切线，具有什么样的性质．二倍角公式，数量积的运算，也是本题涉及的知识点．还一个就是把三个变量变成一个的方法．