Question

14．已知某几何体的直观图和三视图如图所示，其中正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．

（I）求证：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）设θ为直线C₁N与平面CNB₁所成的角，求sinθ的值；
（Ⅲ）设M为AB中点，在BC边上求一点P，使MP∥平面CNB₁，求$\frac{BP}{PC}$的值．

Answer 1

分析 （I）由三视图和垂直关系以B为原点，以BA，BB₁，BC分别为xyz轴建立坐标系，由数量积为0可判BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁垂直，由线面垂直的判定定理可得结论；
（Ⅱ）由数量积为0可得平面CNB₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），设C₁N与平面CNB₁所成的角为θ，则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}N}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{{C}_{1}N}\right|}$，代值计算可得；
（Ⅲ）设P（0，0，a）为BC上一点，根据MP∥平面CNB₁，$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{n}$，求出a值，进而得到答案．

解答 解：（I）证明∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，
俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直．
且BC=4，BA=4，BB₁=8，AN=4，
以BA，BB₁，BC分别为xyz轴建立空间直角坐标系，如图
则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{{NB}_{1}}$=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0
$\overrightarrow{BN}$•$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（4，4，0）•（0，0，4）=0
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁与B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；…4分
解：（II）设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面CNB₁的一个法向量，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CN}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{{NB}_{1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x+y-z=0\\-x+y=0\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），
又∵$\overrightarrow{{C}_{1}N}$=（4，-4，-4），
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}N}|}{\left|\overrightarrow{n}\right|•\left|\overrightarrow{{C}_{1}N}\right|}$=$\frac{|4×1-4×1-4×2|}{4\sqrt{3}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$…8分
（Ⅲ）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，
则$\overrightarrow{MP}$=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴$\overrightarrow{MP}$⊥$\overrightarrow{n}$，
即$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{n}$=-2+2a=0，解得：a=1，
又PM?平面CNB₁，
∴PM∥平面CNB₁，
∴当PB=1时，MP∥平面CNB₁，
此时$\frac{BP}{PC}=\frac{1}{3}$…12分
注本题只给出向量法，其他方法请参照标准酌情给分．

点评 本题考查线面角和线面垂直的判定，线面平行的性质，涉及三视图，建系是解决问题的关键，属中档题．