Question

7．已知a，b是常数，函数f（x）=ax³+bln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+3在（-∞，0）上的最大值为10，则f（x）在（0，+∞）上的最小值为-4．

Answer 1

分析 设g（x）=ax³+bln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），判断g（x）为奇函数，可得g（x）的最值之和为M+m=0，分别求得g（x）的最大值和最小值，即可得到所求最值．

解答 解：函数f（x）=ax³+bln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+3，
设g（x）=ax³+bln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
g（-x）=-ax³+bln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$），
由g（-x）+g（x）=b[ln（x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）+ln（-x+$\sqrt{1+{x}^{2}}$）]
=bln（1+x²-x²）=0，
可得g（x）为奇函数，且g（x）的最值之和为M+m=0，
即有g（x）在（-∞，0）上的最大值为M=10-3=7，
可得g（x）在（0，+∞）上的最小值m=-7，
则f（x）在（0，+∞）上的最小值为-7+3=-4．
故答案为：-4．

点评 本题考查奇函数的定义和性质，考查函数的最值的求法，注意运用换元法，考查运算能力，属于中档题．