Question

12．为备战“全国高中数学联赛”，我市某高中拟成立两个“数学竞赛班”，经过学校预选，选出40名学生，编成A，B两个班，分别由两位教师担任教练进行培训；经过两个月的培训，参加了市里组织的数学竞赛初赛（只有经过初赛，取得相应名次，才能取得参加省统一组织的“全国高中数学联赛”复赛资格），这40名学生的初赛成绩的茎叶图如图：
市数学会规定：140分以上（含140分）为市级一等奖，135分以上（含135分）为市级二等奖，100分以上（含100分）为市级三等奖．
（1）由茎叶图判断A班和B班的平均分$\overline{{x}_{A}}$，$\overline{{x}_{B}}$的大小（只需写出结论）；
（2）按照规则：获得市一等奖、二等奖的同学才能获得省里组织的“全国数学联赛”复赛资格，我们称这些同学为“种子选手”，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为称为“种子选手”与班级有关？

	A班	B班	合计
种子选手
非种子选手
合计

（3）若在“种子选手”中选出3人，其中含有“获市级一等奖”的同学中为X人，求X的分布列及数学期望．
下面临界值表仅供参考：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

（参考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据茎叶图可知A班数据的重心偏下，可得：故$\overline{{x}_{A}}$＜$\overline{{x}_{B}}$；
（2）根据茎叶图求出列联表中各个数据，计算出临界值，可得结论；
（3）由（2）知：种子选手共13人，其中获市一等奖的人数为6人，由题意，X满足参数为13，6，3的超几何分布所以X的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得答案．

解答 解：（1）茎叶图可知A班数据的重心偏下，故$\overline{{x}_{A}}$＜$\overline{{x}_{B}}$；
（2）由茎叶图可知，“种子选手”共有13名，其中A班3人，B班10人，非种子选手27人，其中A班17人，B班10人，从而2×2联表如下：

	A班	B班	合计
种子选手	3	10	13
非种子选手	17	10	27
合计	20	20	40

将2×2列联表中的数据代入公式计算，得                           …（6分）
K²=$\frac{40×（3×10-17×10）^{2}}{20×20×27×13}$≈5.584
因为5.584＞5.024，所以能够“在犯错误的概率不超过0.025的前提下”认为成为‘种子选手’与班级有关…（8分）
（3）由（2）知：种子选手共13人，其中获市一等奖的人数为6人，由题意，X满足参数为13，6，3的超几何分布所以X的所有可能取值为0，1，2，3，
∴P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{0}{C}_{7}^{3}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{35}{286}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{6}^{1}{C}_{7}^{2}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{126}{286}$=$\frac{63}{143}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{6}^{2}{C}_{7}^{1}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{105}{286}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{6}^{3}{C}_{7}^{0}}{{C}_{13}^{3}}$=$\frac{20}{286}$=$\frac{10}{143}$…（10分）
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{35}{286}$	$\frac{63}{143}$	$\frac{105}{286}$	$\frac{10}{143}$

∴EX=0×$\frac{35}{286}$+1×$\frac{63}{143}$+2×$\frac{105}{286}$+3×$\frac{10}{143}$=$\frac{18}{13}$…（12分）
（或由超几何分布的期望计算公式EX=n×$\frac{M}{N}$=3×$\frac{6}{13}$=$\frac{18}{13}$）

点评 本题考查的知识点是独立性检验，茎叶图，古典概型，是统计和概率的综合应用，难度中档．