Question

7．已知对任意n∈N^*，点$（{a_{n+1}}^2-\frac{1}{2}{n^2}，{a_n}（2{a_{n+1}}-{a_n}）+\frac{1}{2}{n^2}）$，在直线y=x上，若a₁=1，a_n＞0，则a_n=$\frac{{{n^2}-n+2}}{2}$．

Answer 1

分析 由已知可得${a}_{n}（2{a}_{n+1}-{a}_{n}）+\frac{1}{2}{n}^{2}={{a}_{n+1}}^{2}-\frac{1}{2}{n}^{2}$，整理得$（{a}_{n+1}-{a}_{n}）^{2}={n}^{2}$，结合a_n＞0，可得a_n+1-a_n=n，然后利用累加法求得答案．

解答 解：∵点$（{a_{n+1}}^2-\frac{1}{2}{n^2}，{a_n}（2{a_{n+1}}-{a_n}）+\frac{1}{2}{n^2}）$在直线y=x上，
∴${a}_{n}（2{a}_{n+1}-{a}_{n}）+\frac{1}{2}{n}^{2}={{a}_{n+1}}^{2}-\frac{1}{2}{n}^{2}$，
即${{a}_{n+1}}^{2}-2{a}_{n+1}{a}_{n}+{{a}_{n}}^{2}={n}^{2}$，
∴$（{a}_{n+1}-{a}_{n}）^{2}={n}^{2}$，
则a_n+1-a_n=±n，
∵a_n＞0，
∴a_n+1-a_n=n，
则a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（n-1）+（n-2）+…+1+1=$\frac{n（n-1）}{2}+1=\frac{{n}^{2}-n+2}{2}$；
故答案为：$\frac{{{n^2}-n+2}}{2}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，是中档题．