Question

15．已知sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，那么log₅$\frac{tanα}{tanβ}$的值是1．

Answer 1

分析 由两角和与差的正弦公式可得sinαcosβ和cosαsinβ的方程组，解方程组由同角三角函数基本关系可得$\frac{tanα}{tanβ}$，求对数可得．

解答 解：∵sin（α+β）=$\frac{1}{2}$，sin（α-β）=$\frac{1}{3}$，
∴sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{2}$，sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{1}{3}$，
两式联立可解得sinαcosβ=$\frac{5}{12}$，cosαsinβ=$\frac{1}{12}$，
∴$\frac{tanα}{tanβ}$=$\frac{sinαcosβ}{cosαsinβ}$=5，
∴log₅$\frac{tanα}{tanβ}$=log₅5=1
故答案为：1

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及整体代入和对数的运算，属基础题．