【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,
⊥底面
,
为
的中点,
与平面
所成的角为
.
(1)求证:;
(2)求异面直线与
所成的角的大小(结果用反三角函数表示);
(3)若直线与平面
所成角分别为
,求
的值.
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【解析】
(1)由平面
,则
.又
,得到
平面
,而
平面
,所以
.
(2)由(1)可知平面
,所以
为
与平面
所成的角.再由
,得到
.
,然后建立空间直角坐标系,分别求得
,
,再代入线线角的向量法公式求解.
(3)先求平面的一个法向量,再求得
,
,利用线面角的向量方法,求得
,
即可.
(1)∵平面
,
平面
,
∴.
∵四边形是正方形,
∴.又
平面
,
平面
,
,
∴平面
,
∵平面
,
∴.
(2)由(1)可知平面
,
∴为
与平面
所成的角.
∴,∴
.∴
.
如图:
以为原点,以
为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则,
,
,
.
∴,
.
.
∴异面直线与
所成的角为
.
(3)∵,
,
∴,
,
.
设平面的法向量为
,
则,即
,
令得
.
∴,
.
∴,
.
∴.
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【题目】以下四个命题:①设,则
是
的充要条件;②已知命题
、
、
满足“
或
”真,“
或
”也真,则“
或
”假;③若
,则使得
恒成立的
的取值范围为{
或
};④将边长为
的正方形
沿对角线
折起,使得
,则三棱锥
的体积为
.其中真命题的序号为________.
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【题目】如图,某隧道设计为双向四车道,车道总宽22米,要求通行车辆限高4.5米,隧道全长2.5千米,隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状.
(1)若最大拱高h为6米,则隧道设计的拱宽l是多少?
(2)若最大拱高h不小于6米,则应如何设计拱高h和拱宽l,才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最最小?(半个椭圆的面积公式为,柱体体积为:底面积乘以高.本题结果精确到0.1米)
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【题目】为了进一步推动全市学习型党组织、学习型社会建设,某市组织开展“学习强国”知识测试,每人测试文化、经济两个项目,每个项目满分均为60分.从全体测试人员中随机抽取了100人,分别统计他们文化、经济两个项目的测试成绩,得到文化项目测试成绩的频数分布表和经济项目测试成绩的频率分布直方图如下:
经济项目测试成绩频率分布直方图
分数区间 | 频数 |
2 | |
3 | |
5 | |
15 | |
40 | |
35 |
文化项目测试成绩频数分布表
将测试人员的成绩划分为三个等级如下:分数在区间内为一般,分数在区间
内为良好,分数在区间
内为优秀.
(1)在抽取的100人中,经济项目等级为优秀的测试人员中女生有14人,经济项目等级为一般或良好的测试人员中女生有34人.填写下面列联表,并根据列联表判断是否有以上的把握认为“经济项目等级为优秀”与性别有关?
优秀 | 一般或良好 | 合计 | |
男生数 | |||
女生数 | |||
合计 |
(2)用这100人的样本估计总体.
(i)求该市文化项目测试成绩中位数的估计值.
(ii)对该市文化项目、经济项目的学习成绩进行评价.
附:
0.150 | 0.050 | 0.010 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 |
.
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【题目】对于项数为(
)的有穷正整数数列
,记
(
),即
为
中的最大值,称数列
为数列
的“创新数列”.比如
的“创新数列”为
.
(1)若数列的“创新数列”
为1,2,3,4,4,写出所有可能的数列
;
(2)设数列为数列
的“创新数列”,满足
(
),求证:
(
);
(3)设数列为数列
的“创新数列”,数列
中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积,求出所有的数列
.
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【题目】某品牌服装店为了庆祝开业两周年,特举办“你敢买,我就送”的回馈活动,规定店庆当日进店购买指定服装的消费者可参加游戏,赢取奖金,游戏分为以下两种:
游戏 1:参加该游戏赢取奖金的成功率为,成功后可获得
元奖金;
游戏 2:参加该游戏赢取奖金的成功率为,成功后可得
元奖金;
无论参与哪种游戏,未成功均没有收获,每人有且仅有一次机会,且每次游戏成功与否均互不影响,游戏结束后可到收银台领取奖金。
(Ⅰ)已知甲参加游戏 1,乙参加游戏 2,记甲与乙获得的总奖金为,若
,求
的值;
(Ⅱ)若甲、乙、丙三人都选择游戏 1或都选择游戏 2,问:他们选择何种规则,累计得到奖金的数学期望值最大?
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