【题目】以下四个命题:①设,则
是
的充要条件;②已知命题
、
、
满足“
或
”真,“
或
”也真,则“
或
”假;③若
,则使得
恒成立的
的取值范围为{
或
};④将边长为
的正方形
沿对角线
折起,使得
,则三棱锥
的体积为
.其中真命题的序号为________.
【答案】①③④
【解析】
①中,根据对数函数的运算性质,即可判定;②中,根据复合命题的真假判定方法,即可判定;③中,令,转化为
在
恒成立,即可求解;④中,根据几何体的结构特征和椎体的体积公式,即可求解.
由题意,①中,当,根据对数函数的运算性质,可得
,
反证,当时,可得
,所以“
”是“
”成立的充要条件,所以是正确的;
②中,若命题““或
”真”,可得命题
中至少有一个是真命题,当
为真命题,则
假命题,此时若“
或
”真,则命题
为真命题,所以“
或
”真命题,所以不正确;
③中,令,则不等式
恒成立转化为
在
恒成立,
则满足,即
,解得
或
,所以是正确的;
④中,如图所示,O为AC的中点,连接DO,BO,
则都是等腰直角三角形,
,
其中也是等腰直角三角形,
平面
,
为三棱锥
的高,且
,
所以三棱锥的体积为
,所以是正确的,
综上可知真命题的序号为①③④
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【题目】下列五个命题:
①“”是“
为R上的增函数”的充分不必要条件;
②函数有两个零点;
③集合,
,从A,B中各任意取一个数,则这两数之和等于4的概率是
;
④动圆C既与定圆相外切,又与y轴相切,则圆心C的轨迹方程是
;
⑤若对任意的正数x,不等式恒成立,则实数a的取值范围是
.
其中正确的命题序号是________.
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【题目】将红、黑、蓝、白5张纸牌(其中白纸牌有2张)随机分发给甲、乙、丙、丁4个人,每人至少分得1张,则下列两个事件为互斥事件的是( )
A. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”
B. 事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”
C. 事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”
D. 事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”
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【题目】某地区实施“光盘行动”以后,某自助啤酒吧也制定了自己的行动计划,进店的每一位客人需预交元,啤酒根据需要自己用量杯量取,结账时,根据每桌剩余酒量,按一定倍率收费(如下表),每桌剩余酒量不足
升的,按
升计算(如剩余
升,记为剩余
升).例如:结账时,某桌剩余酒量恰好为
升,则该桌的每位客人还应付
元.统计表明饮酒量与人数有很强的线性相关关系,下面是随机采集的
组数据
(其中
表示饮酒人数,
(升)表示饮酒量):
,
,
,
,
.
剩余酒量(单位:升) |
| ||||
结账时的倍率 |
(1)求由这组数据得到的
关于
的回归直线方程;
(2)小王约了位朋友坐在一桌饮酒,小王及朋友用量杯共量取了
升啤酒,这时,酒吧服务生对小王说,根据他的经验,小王和朋友量取的啤酒可能喝不完,可以考虑再邀请
位或
位朋友一起来饮酒,会更划算.试向小王是否该接受服务生的建议?
参考数据:回归直线的方程是,其中
,
.
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【题目】如图,在四棱锥 中,底面
为矩形,
平面
,二面角
的平面角为
,
为
中点,
为
中点.
(1)证明:平面
;
(2)证明:平面平面
;
(3)若,求实数
的值,使得直线
与平面
所成角为
.
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【题目】如图,在多面体中,四边形
为矩形,
,
均为等边三角形,
,
.
(1)过作截面与线段
交于点
,使得
平面
,试确定点
的位置,并予以证明;
(2)在(1)的条件下,求直线与平面
所成角的正弦值.
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【题目】某调查机构对全国互联网行业进行调查统计,得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图,则下列结论中不一定正确的是( ).
注:90后指1990年及以后出生,80后指1980-1989年之间出生,80前指1979年及以前出生.
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D. 互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
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【题目】如图,在四棱锥中,底面是边长为2的正方形,
⊥底面
,
为
的中点,
与平面
所成的角为
.
(1)求证:;
(2)求异面直线与
所成的角的大小(结果用反三角函数表示);
(3)若直线与平面
所成角分别为
,求
的值.
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