Question

已知函数f（x）=

1

2

mx2-x，g（x）=lnx．
（Ⅰ）设函数h（x）=e^g（x）•f（x），当m=

2

3

时，求h（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）若函数F（x）=f（x）-g（x）+（2-m）x，求函数F（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,分类讨论,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）化简h（x），求出导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到所求切线方程；
（Ⅱ）求出F（x）的导数，并分解因式，对m讨论，当m≥0时，当m=-1时，当m＜-1时，当-1＜m＜0时，令导数大于0，得增区间，令导数小于0，得减区间，注意定义域．

解答： 解：（Ⅰ）函数h（x）=e^g（x）•f（x）=e^lnx•（

1

2

mx2-x）=x•（

1

2

mx2-x）=

1

2

mx³-x²，
当m=

2

3

时，h（x）=

1

3

x³-x²的导数为h′（x）=x²-2x，
即有h（x）在x=1处的切线斜率为k=1-2=-1，
切点为（1，-

2

3

），
则h（x）在x=1处的切线方程为y+

2

3

=-（x-1），即为x+y-

1

3

=0；
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）-g（x）+（2-m）x=

1

2

mx2-x-lnx+（2-m）x=

1

2

mx²-lnx+（1-m）x，（x＞0）
F′（x）=mx-

1

x

+1-m=

mx2+(1-m)x-1

x

=

(x-1)(mx+1)

x

，
当m≥0时，当x＞1时，F′（x）＞0，F（x）递增，当0＜x＜1时，F′（x）＜0，F（x）递减；
当m=-1时，F′（x）=

-(x-1)2

x

≤0，F（x）递减；
当m＜-1时，-

1

m

＜1，当0＜x＜-

1

m

或x＞1时，F′（x）＜0，F（x）递减，
当-

1

m

＜x＜1时，F′（x）＞0，F（x）递增；
当-1＜m＜0时，1＜-

1

m

，当0＜x＜1或x＞-

1

m

时，F′（x）＜0，F（x）递减，
当1＜x＜-

1

m

时，F′（x）＞0，F（x）递增．
综上可得，当m≥0时，F（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；
当m=-1时，F（x）的减区间为（0，+∞）；
当m＜-1时，F（x）的增区间为（-

1

m

，1），减区间为（0，-

1

m

），（1，+∞）；
当-1＜m＜0时，F（x）的增区间为（1，-

1

m

），减区间为（0，1），（-

1

m

+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线方程和判断单调性及求单调区间，运用导数的几何意义和正确分类讨论是解题的关键．