Question

已知函数f（x）满足：f（x₁+x₂）+f（x₁-x₂）=2f（x₁）f（x₂），且f（1）=

3

2

，求证：当n₁＜n₂属于自然数时，f（n₁）＜f（n₂）

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：根据关系式先计算出f（0）=1，要得到结论只需证明当n＜n+1属于自然数时，f（n+1）-f（n）＞0即可．

解答： 证明：根据题意，得f（1）+f（1）=2f（1）f（0），
又f（1）=

3

2

，所以f（0）=1．
对任意的实数t，因为f（t+1）+f（t-1）=2f（t）f（1）
=2f（t）×

3

2

=3f（t），
所以f（t+1）-f（t）=2f（t）-f（t-1）…（*）
又当x≥2时，f（

x

2

+

x

2

）+f（

x

2

-

x

2

）=2[f（

x

2

）]²，
即f（x）=2[f（

x

2

）]²-f（0）
=2[f（

x

2

）]²-1，
显然对任意的正整数x，都有f（x）恒大于零…（**）．
下面用数学归纳法证明：当n＜n+1属于自然数时，f（n+1）-f（n）＞0
①当n=1时，f（1+1）=2[f（1）]²-f（0）=2×(

3

2

)2-1=

7

2

＞

3

2

=f(1)，
即f（2）-f（1）＞0；
②假设n=k时成立，即f（k-1）＜f（k）．
则n=k+1时，由（*）及（**）可知
f（k+1）-f（k）=2f（k）-f（k-1）
＞2[f（k）-f（k-1）]＞0．
综上，当n₁＜n₂属于自然数时，f（n₁）＜f（n₂）．

点评：本题考查抽象函数表达式的意义和应用，灵活使用抽象函数的变形是解题的关键，属中档题．