Question

已知函数f（x）=mlnx+

m

2

x2-x（m≠0）
（1）若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，求m的值
（2）若函数在[1，+∞）单调递增，求m的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的概念及应用,导数的综合应用,不等式的解法及应用

分析：（1）求出导数，求得切线的斜率，由题意可得m的方程，解得即可；
（2）求出导数，函数在[1，+∞）单调递增，即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．运用参数分离和基本不等式求得右边的最大值，即可得到m的范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=mlnx+

m

2

x2-x的导数为f′（x）=

m

x

+mx-1，
则有函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为2m-1=1，
解得m=1；
（2）由于f′（x）=

m

x

+mx-1，
又函数在[1，+∞）单调递增，
即有f′（x）≥0在[1，+∞）恒成立．
即有m（x+

1

x

）≥1即m≥

1

x+ 1 x

在[1，+∞）恒成立．
由x≥1，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，当且仅当x=1取得最小值2，
则有0＜

1

x+ 1 x

≤

1

2

，
故m≥

1

2

．
即有m的范围为[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查导数的运用：求切线的斜率和判断单调性，主要导数的几何意义和基本不等式的运用，运用参数分离和将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题是解题的关键．