Question

已知函数f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（1）当a=-1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）当a≤12时，讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=-1代入函数解析式，求出函数导函数，得到函数在x=2时的导数，再求出f（2），然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）确定函数的定义域，求出原函数的导函数，然后对a分类讨论，利用导数的正负，可确定函数的单调性．

解答： 解：（1）由f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，得
f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

，当a=-1时，f′（x）=

x2+x-2

x2

，
则f′（2）=

22+2-2

22

=1，
又f（2）=ln2+2+

2

2

-1=ln2+2，
∴曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y-ln2-2=1×（x-2），
即x-y+ln2=0；
（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

，
当a=0时，f′（x）=

x-1

x2

，
令f′（x）=

x-1

x2

＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
当a＜0时，令f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得x＞1或x＜

1

a

-1（舍去），
此时函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
当0＜a＜

1

2

时，令f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得1＜x＜

1

a

-1，
此时函数f（x）在（1，

1

a

-1）上是增函数，在（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上是减函数；
当a=

1

2

时，f′(x)=

- 1 2 x2+x- 1 2

x2

=-

1

2x2

(x-1)2≤0，
此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．
综上，当a≤0时，函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，在（0，1）上是减函数；
当0＜a＜

1

2

时，函数f（x）在（1，

1

a

-1）上是增函数，在（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上是减函数；
当a=

1

2

时，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题考查利用导数求过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，关键是做到对a正确分类，属于中档题．